초등 몰입 수학 문제 6 _ 규칙찾기에서 "식 만들기"

 
규칙 찾기 놀이 재미있죠?
하지만 규칠을 식으로 만드는 일은 연습이 필요하죠.
 
이전에 아래 글에서 수열에 대해 잠깐 소개한 적 있어요. 아래글도 참고해 보면 좋아요.
[초등 몰입수학 문제 3_종이접기] https://kidarilight.com/375

초등 몰입수학 문제 3_ 종이접기

 
일단 오늘 해볼 규칙 찾기!
그리고 더 중요한 식 만들기!!
 
아래 수들의 규칙을 찾아봐요.

① 2, 4, 6, 8, 10...

1. 규칙은 쉽게 찾았죠?
2. 2씩 더해지고 있어요.
3. 하지만 중요한 건, "568번째 수는 뭐야?"라는 질문에 답을 할 수 있어야 해요.
4. 그러려면 "식을 만들어야 하죠"
5. n번째 수는 "2n" (곱셈기호는 생략할 수 있어요)이라고 식을 만들 수 있어요.
6. 배열 순서를 간략하게 n이라 표시한 거예요.
7. 568번째 수는 2x568=1136이 되어요.

 

그럼 좀 더 확장시켜서 다른 문제도 한 번 볼까요?
 

② 1, 3, 5, 7, 9...

1. 이것 역시 위 짝수와 마찬가지로 2씩 더해지고 있네요. 그런데 이번에는 홀수예요.
2. n번째 수는 어떻게 식을 만들 수 있을까요?
3. 위 짝수 배열과 비교해 보니, 수가 하나 줄어든 모습이네요. 그럼 아래와 같이 식을 만들 수 있어요.

2	4	6	8	10	→ 2n
1	3	5	7	9	→ 2n-1

 
식을 만들어 내면, 100번째는 어떤 수가 올지 쉽게 알 수 있어요.
위 식에 대입해 보면, 100번째 수는 2x100-1 이니까 199가 되지요.
 
다른 문제도 볼까요?
 

③  1, 4, 9, 16, 25...

1. 이건 어떻게 식을 만들까요?
2. +3, +5, +7, +9 이렇게 홀수로 증가한다고 볼 수 있어요.
3. 이걸 제곱수라고 해요. 사각수라고도 하죠.
4. 여기서 중요한 포인트! 홀수를 계속 더하면 제곱수가 되는구나!!
   그래서 n² 라는 식을 만들 수 있어요.
5. 100번째 수도 구해볼까요?
6. 100², 즉 100x100이니 10000이 되겠죠.
7. 식을 만드니 참 쉽게 답을 구할  수 있죠.

 

1. 만약 앞에 1이 빠지고, 4, 9, 16, 25... 이런 식의 숫자라면, 식을 어떻게 만들어야 할까요?
2. 첫 번째 수가 1의 제곱이 아니라 2의 제곱이니까, (n+1)²이라고 식을 만들 수 있어요.
3. 이렇게 식 만들기 연습을 하면 되어요.

 

4. 2, 5, 10, 17...

1. 이건 무슨 규칙이 있을까요?
2. 이것도 첫 번째 숫자만 바뀌었을 뿐, 홀수로 증가하는군요. 우린 이제 이것이 제곱수라고 알고 있죠.
3. 제곱수와 비교해서 어떤 차이가 나는지 살펴보면 식을 만들 수 있어요!!

이렇게 해보면 식 찾는 눈이 확실히 생겨요.
연습이 필요하죠.
그러면 3, 6, 11, 18, 27... 의 숫자배열도 식을 만들 수 있겠죠?
 
이대로 끝내기 뭔가 아쉬워서 한 문제 더 해봐요.^^
 

④  1, 3, 6, 10....

1. 이건 무슨 규칙일까요?
2. 이 수들은 1, 1+2, 1+2+3, 1+2+3+4... 이렇게 증가하네요.
3. 이런 수를 삼각수라고 해요.
4. 1~n까지 더하는 공식을 우리는 가우스한테 배워서 이미 알고 있죠.

10번째 수는 1~10까지 더한 거니까 55가 되고,
100번째 수는 1~100까지 더한거니까 5050이 되지요.
 

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⑤ 마무리

 
일정한 규칙에 따라 나열된 수의 집합을 "수열"이라고 해요. 지금까지 많은 수열을 알아봤어요.

대표적인 수열들을 "규칙→일반항(식)"으로 정리해 볼까요?

1. 짝수 수열 : 2n
2. 홀수 수열 : 2n-1
3. 제곱수 수열 : n²
4. 삼각수 수열 : n(n+1) / 2

이 외에도 다양한 수열이 있어요. 앞의 두 수를 더해 다음 수를 만드는 피보나치수열도 있고요. 
더 공부하고 싶나요? ^^
정말 대단해요!!

 
 
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