초등수학_ 최대공약수, 최소공배수 왜 배워야 해? 완벽정리 및 문장제 활용

 

최대공약수와 최소공배수

최대공약수와 최소공배수를 푸는 문제는 아주 간단해요.

하지만 실생활에서, 문장제 문제에서 어떻게 적용해야 하는지, 이걸 왜 배우는지 아이가 모르는 것 같아서 정리해 볼게요.

 

이 글을 다 읽으면, 

최대공약수와 최소공배수에 대해서 완벽하게 얻어가는 거예요. ^^

 

기초적인 최대공약수와 최소공배수는 풀 수 있다는 가정하에, 초등학생에게 하는 대화체로 적어볼게요.

 

그리고 먼저 아래와 같이 기본적인 정리를 알려줄게요.

 

최대공약수

• 공통으로 가진 인수(공약수)중 가장 큰수.
• 즉, "둘 다 딱 나누어떨어지는 수 중 가장 큰 수"
• "둘이 함게 나눌 수 있는 가장 큰 조각 크기"

최소공배수

• 두 수의 배수 중 가장 작은 공통 배수.
• 즉, 둘 다 조건을 만족하는 배수 중 가장 작은 수.

 

목차박스

1. 큰수의 최대공약수 구하기 2. 세 수의 최소공배수 구하기 3. 실생활 문제, 문장제 문제 적용하기 4. 기타 특징

 

1. 최대공약수를 구해보자

일단 이것부터 풀어봐
→ 85 와 51 의 최대공약수.
 
→ 좀 어렵지? 두 수를 소수로 나눠보면돼(=소인수분해). 소수란 작은 수가 아니라 prime number, 1과 자신만을 약수로 갖는 수를 말해. 그러니까 소수는 2,3,5,7,11,13,17... 뭐 이런 수 말이야. 알고 있었어?
 
→ 큰 수는 최대공약수를 구하기가 좀 어려울 때가 있어. 쉬운방법을 알려줄게.
(큰 수, 작은 수)의 최대공약수는 (작은 수, 큰 수-작은 수)의 최대공약수와도 같아. 
 
예를 들어볼게. 

최대공약수는 어차피 같게 나오지?
 
계속 빼기 귀찮으니 한꺼번에 나눗셈을 할 수도 있어. 큰수를 작은 수로 나눠서(계속 빼기와 같은 말이야) 나누어 떨어지면, 나눈 수가(=작은 수) 바로 최대공약수야.
 
이건 과거 방탄소년단보다 훨씬 유명했던
유클리드란 사람이 알려준 방법이야.
일명 '유클리드 호제법'
 
잘 모르겠으면, 비슷한 문제 몇 개만 더 풀어볼까?
 
1)  95,  57
2) 169, 52
3) 143, 66
4) 115, 69
 
→ 95에서 57을 빼면 38 (나눈후의 나머지와도 같은 말이야)
그럼 다시 57에서 38을 빼면 19.
38과 19의 최대공약수를 구하면 되겠군.
정답은 19가 나와.
 
다음 2번 문제를 볼까?
169에는 52가 3번쯤 들어가겠다. 빼기가 귀찮으니 나눠보자. 몫은 3 나머지는 13이야.
그럼 이제 52와 13을 비교하면 되겠지? 52를 13으로 나눠서 나누어 떨어지니 최대공약수는 바로 13이 되겠네.
 
3번과 4번은 직접 풀어봐 ~^^
 
우리는 두 수의 최대공약수와 최소공배수를 구할 수 있어. 그럼 세 수의 최대공약수와 최소공배수는 어떻게 구할까?
 

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2. 세 수의 최대공약수와 최소공배수

 
이것도 일단 풀어봐.
→   8   12   18 의 최대공약수와 최소공배수.

→ 한눈에 보이는 소인수 분해로 풀어볼까? 소인수분해는 소수들의 묶음으로만 나타낸 것을 말해. 어떤 자연수를 소수들의 곱으로 나타낸 것. 예를 들어 12를 소인수분해하면, 12=2*2*3
 
→  8 = 2 * 2 * 2  
    12 = 2 * 2 * 3
    18 = 2 * 3 * 3
 
→ 세 수에 공통으로 들어있는 수는 2야. 그래서 최대공약수는 2.
 
→ 이제 최소공배수를 구해볼까? 세 수로 나눠서 모두 나누어 떨어지려면 가장 많이 필요한 만큼 소인수가 있어야 해. 말이 어렵지? 그 누구에게도 부족하면 안 되니까.
2는 최대 3개 (8에서 3개)
3은 최대 2개 (18에서 2개)
그래서 2*2*2*3*3=72가 나와.
 
→ 잘 이해가 안 가지? 더 쉽게 설명해 줄게.
철수는 레고블록 중에 빨간색 3개가 필요해.
영희는 빨간색 2개와, 파란색 1개가 필요해.
영수는  빨간색 1개와 파란색 2개가 필요해
 
모두가 만족하려면 빨간색 블록, 파란색블록이 몇 개가 있으면 될까?
 
철수는 빨간색을(3개) 제일 많이 필요로 해
영수는 파란색을(2개) 제일 많이 필요로 하고
그 누구에게도 부족하면 안 되니까. 
빨간색 3개, 파란색 2개는 있어야겠지?
 
그래서 다시 문제로 돌아가보면,
2가 3개, 3이 2개는 있어야 모두가 만족한다는 말이야. 그래서 2*2*2*3*3=72
 
원리를 알았으니까 이제 간단하게 푸는 법을 알려줄게.
아래처럼 풀면 돼.

→ 세 수 모두 공통으로 들어간 공약수는 맨 위 "2" 뿐이야. 그래서 최대공약수는 "2"
→ 최소 공배수는 2 x 2 x 3 x 2 x 1 x 3 =72
 

3. 실생활 문제, 문장제 문제 적용하기

최소공배수로 푸는 문제는 배수로 늘어나는 조건 속에서 "같이 만나는 순간"을 맞추는 문제가 많지.

배차 간격이 다른 두 버스가 만나는 순간이나, 크기다 다른 톱니바퀴가 언제 처음처럼 맞물릴까? 같은 문제야.

아래와 같은 문제들을 풀어봐.

1. 사과 12개 귤 8개를 4박스에 똑같이 담으려면?
2. 가로 95cm, 세로 60cm 벽에 타일을 붙이려고 해. 한 변이 몇 cm인 정사각형 타일을, 몇 개가 필요할까?
3. 9번 버스는 배차간격이 8분, 12번 버스는 배차간격이 10분이야. 친구와 정류장에서 동시에 온 버스를 각자 나눠 타고 집으로 가려면 얼마나 기다려야 할까?
4. 가로 12cm, 세로 15cm 타일로 예쁜 정사각형 공간을 만들려고 해. 넓이가 몇 인 정사각형 공간을 만들 수 있을까?

 
정답은: 사과 3개, 귤 2개씩 /  한 변이 5 cm인 타일을 228개 / 40분  / 3600㎠
 
아래는 [바쁜 초등학생을 위한 빠른 약수와 배수] 문제집의 일부입니다. 참고하세요. ^^

최소공배수의 활용문제

4. 기타 특징

 

 
 
"아이가 왜 배우는지 알면
생각의 깊이가 자랍니다. 수학은 계산보다 이해가 먼저랍니다"
 
 

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