수학 잘하는 아이는 뇌를 다르게 씁니다 _ 시각화

 

 수학머리는 어떻게 만들어지는가
_2024 조 볼러
 
수학자들은 일반인과 뇌의 '시각영역'이 다르다고 합니다.

수학을 잘하려면 어떻게 해야 하는지,

뇌의 시각영역을 발달시키려면 어떻게 해야 하는지 알아보아요.

"성취자의 일반인의 차이는 선천성이 아니라

'어떻게 수학을 경험하고 느꼈는가'에서 나옵니다."

목차박스

1. 수학적 다양성 2. 수학 뇌? 3. 메타인지를 촉진하는 수학학습전략 4. 성장 마인드셋 5. 실수와 애씀의 가치 6. 꼭 가르쳐야 할 수학의 3대 영역 7. 수학의 시각적 활동 8. 마무리

 

1. 수학적 다양성

전 세계에서 수학적으로 가장 뛰어난 사람들은 수학을 배울 때 수학적인 성취도가 낮은 사람들과 다른 접근법을 취한다고 알려져 있다. 이들이 수학 성취도가 높은 것은 특별한 능력을 타고났기 때문이 아니라 남들과 다른 접근법을 취했기 때문이다. 이들은 보통 이런 아이디어와 학습 방식을 친구나 가족으로부터 배우는데, 이런 것들은 학교 시스템 안에서는 거의 공유되지 않는다. 

학교에서는 너무 편협한 수학을 경험한다. 다양한 수학적 경험을 제공하지 않는다. 학부모와 교사들은 때때로 스스로도 시스템에 따라 편협한 방식으로 가르치는 것이 낫다고 생각하기도 한다. p308 수학을 개방해 수학이라는 과목에 다양한 방식으로 참여하고 그것을 다양한 관점에서 볼 수 있도록 장려하면, 더 많은 학생이 성공한다는 사실이 밝혀졌다.
 
내가 아는 수많은 초중고 교사가 좁은 커리큘럼 표준과 시험이 끝없이 계속되는 공립학교 시스템 내에서도 학생들에게 다양한 수학적 경험을 제공했고, 이는 학생들에게 큰 변화를 가져왔으며 앞으로도 그럴 것이다. 교사가 수학을 다르게 볼 수 있다는 것을 보여주면, 그 뒤로는 학생들이 모든 수학에 접근하는 방식이 좁든 다양하든 바뀌게 된다. 교사 한 명의 영향력은 크다. 
 
수학을 다르게 볼 수 있고 다르게 풀 수 있는 과목으로 받아들인다면 수학은 더 많은 성취와 동기 그리고 즐거움을 제공할 수 있다는 연구 결과도 있다. 지금 대부분 사람이 알고 있는 유일한 수학을 거부해야 하고, 수학적 다양성을 포용해야 한다. 
 

2. 수학뇌?

다 유전이라고? 하지만 지난 10여 년에 걸쳐 수학 뇌 같은 것은 존재하지 않으며, 모든 종류의 뇌 기능은 계속해서 발달하고 연결되며 변화한다는 사실이 확실하게 밝혀졌다. 이 사실은 단기간의 개입만으로도 뇌가 성장할 수 있다는 신경과학 연구 결과에 의해서 입증되고 있다. 수학에 대한 학생들의 태도와 느낌, 즉 수학적 마인드셋이 달라지면 수학 성취도가 비약적으로 높아진다. 
 

3. 메타인지를 촉진하는 수학학습전략

(메타인지는 우리에게 초능력을 부여한다)

1. 한걸음 물러서기 : 소리내어 읽어보기, 문제가 내게 요구하는 것이 무엇일까? 생각해보기
2. 문제를 그림으로 그리기 : 뇌의 시각영역이 활성화될 뿐만 아니라 수 영역과 시각 영역 사이의 중요한 연결성이 자극된다. 
3. 새로운 접근방식 찾기 : 푸는 속도가 서로 다른 학생들이 한 반에 섞여 있을 때 유용하게 사용될 수 있기도 하다. 방금 푼 문제를 다른 방식으로 풀 수 있는지 생각해보게 한다. 
4. "왜?"에 대해 생각해 보기 : 특히 여학생들은 깊이 있는 이해를 하지 못하게 되면 수학에서 멀어지는 경우가 많다. 여학생들은 남학생들보다 더 깊이 있는 이해를 원한다. 6학년 학생들에게 왜 곱셈을 활용했는지 7번 이상 물어본 뒤에야 곱셈 이면의 논리에 대한 답을 들을 수 있었다. 
5. 작은 사례로 단순화하기 : 19+6 → 20+5처럼 숫자나 도형을 단순하게 바꾸는 접근방식
6. 추측하기 : 추측은 수학에 대한 학생의 관점을 전체적으로 바꿀 수 있다. 
7. 회의론자 되기 : 학생이 추론을 하면서 회의론자의 역할을 하도록 유도하는 접근 방식이다. 추론은 수학의 핵심이다. 수학적 아이디어를 증명하는 방법이기 때문이다. 성인의 경우 직장에서 자신의 추론 결과를 공유한다면 더 좋은 성과를 낼 수 있다. 추론에는 세 가지 수준이 있다. 가장 낮은 수준의 추론은 자신을 설득할 수 있는 수준의 추론 → 친구를 설득하는 것 → 가장 높은 수준의 추론은 회의론자를 설득할 수준의 것이다. 스스로가 회의론자가 되면 된다. 

 

4. 성장마인드셋

p95 현재 미국이 전국적으로 수학성취도가 매우 낮은 이유 중 하나는 많은 교사와 학생이 문제를 풀기 위해 애쓰는 것이 약함을 드러내는 일이라고 생각하는 데 있다. 
" 교사들은 학생들이 문제를 풀기 위해 애쓰기를 바란다. 학생들이 애를 써야 수학적 개념을 제대로 이해할 수 있다고 믿기 때문이다. 학교에서는 능력 차이에 따라 학생들을 그룹화하지 않는다. 학교는 학생들 간의 능력 차이를 문제 해결 방법에 관한 토론의 폭을 넓힐 수 있는 자원으로 간주하기 때문이다. 모든 학생이 한 수업에서 같은 것을 배우는 것은 아니다. 하지만 각 학생은 단순하고 미리 준비된 절차를 강제로 주입받는 것보다 문제를 풀기 위해 애를 쓰는 과정에서 더 많은 것을 배울 수 있다."
 

5. 실수와 애씀의 가치

1. 신경과학 연구결과 알려주기 : 수학 뇌같은 것은 존재하지 않으며 우리 뇌는 계속 변화한다. 나는 학생들이 애를 쓰고 실수하기를 바란다. 애를 쓰는 시간이야말로 우리 뇌가 경로를 형성하고 연결하고 강화하는 중요한 시간이다. 
2. 애씀에 대한 토론하기 : 이해 능력의 한계점에서 노력한다는 생각을 마음속에 품고 자랑스럽게 경험할 수 있는 것으로 만들어주자. 애씀이야말로 무언가 중요한 일을 하고 있다는 것을 보여주는 긍정적인 신호라는 생각으로 바꾸기 위한 방법을 브레인스토밍해보자. 
3. 애씀의 가치에 대한 비유 공유하기 : 애씀의 먹구름, 애씀의 구덩이 같은 다양한 비유를 공유하는 것이 도움이 된다. 애씀의 시간을 소중히 여기고 배우며 성장 마인드셋을 가지고  살아가고자 하는 어른에게도 매우 의미가 깊다. "선생님 저 진짜로 구덩이에 빠졌어요!" " 훌륭해! 그렇다면 어떤 도구가 필요할까?"
4. *도전기회를 제공하는 문제 제공하기 : 애씀을 유발하지만, 애쓰면서도 편안함을 느낄 수 있는 문제=낮은 바닥과 높은 천장이라는 말로 표현된다. 정사각 증가패턴에 대한 의견을 공유하도록 하는 예는 이 특성을 잘 보여준다. 누구나 새로운 정사각형이 추가되는 방식에 대한 자신의 의견을 공유할 수 있지만(낮은 바닥), 이 과제는 이차함수에 대한 높은 수준의 대수적 사고로 확장된다(높은 천장) 
5. 실수할 때 칭찬하기 : 어려운 과제를 내주었을 때 학생들이 힘들다고 하면, 나는 그들의 뇌가 경로를 형성하고, 강화하고, 새로운 연결을 만들면서 열심히 일하고 있어서 그렇게 느껴지는 것이며, 바로 그 상태를 원해야 한다고 말한다. 또한 지금이 중요한 순간이며, 열심히 노력하는 느낌을 소중하게 여기라고 말한다. 나는 칠판에 실수를 적어서, 학급 전체가 실수로부터 혜택을 받고 그 가치를 볼 수 있도록 만든다. 
6. 성장을 위한 칭찬하기 : 칭찬을 할 때는 자녀가 지금까지 한 일과 그 과정에 집중하고, 생각이나 문제에 대한 멋진 접근 방식이 마음에 든다고 말해주자. 똑똑하다는 칭찬은 '똑똑함'이라는 꼬리표를 잃기 싫어 쉬운 과제를 선택한다. 
7. 평가방식 바꾸기 : 애씀과 실수를 장려할 기회로 삼아야 한다. 유용한 평가피드백을 제공하기.
8. 유명하거나 중요한 실수 이야기 공유하기 : 페르마의 마지막 정리를 증명하는 과정에 관한 이야기를 들려주자. 앤드루 와일즈는 페르마의 정리를 본격적으로 연구를 시작한 지 7년이 지난 후 연구 결과를 발표했고 박수갈채가 이어졌다. 하지만 그 후 몇 주에 걸쳐 그의 연구에 실수가 있었다는 사실이 밝혀졌고, 와일즈는 연구실로 돌아가 완전하고 정확한 증명을 내놓기 전까지 몇 달 더 작업을 계속했다. 내가 강조하고 싶은 부분은 페르마의 마지막 정리의 증명으로 제시되었던 잘못된 이론이 대수학 일부를 포함한 수학의 새로운 분야를 만들어냈다는 사실이다. (실수의 가치 강조)
9. 실수의 가치를 새기는 활동하기 : 학생들이 실수했을 때 느끼는 분노와 좌절감을 담아 종이를 구겨서 힘껏 칠판에 던지게 한다. 그런 다음에는 종이를 펼쳐 구길 때 생긴 잔금에 색을 칠하게 하는데, 여기서 모든 잔금은 뇌가 성장하고 연결되는 것을 상징한다. 이런 활동을 통해 학생들은 실수에 대해 새로운 관점을 갖게 된다. 
10. 가장 좋아하는 실수를 골라 공유하게 하기 : 이 방법이 도움이 되는 이유는 수학 문제에 대한 이해의 영역이 항상 문제 자체를 넘어서며, 그 영역에 대해 생각하는 것이 중요하기 때문이다. 
11. 동영상과 기사 공유하기 : 애쓰고 실수하는 것의 가치를 알려주는 기사 및 정보.

 

*4번문항 문제 추가설명
몇 번째 케이스에서 정사각형이 몇 개인지 같은 좁은 범위의 질문을 주면 학생들은 숫자들로 이뤄진 표를 보고 패턴을 찾아낸 뒤, (n+1)제곱 같은 대수적 표현을 만들어낸다. 하지만 이런 표현이 가능한 이유나 의미는 전혀 이해하지 못한다. 반면 패턴 성장이 어떻게 이뤄지는지 대한 생각을 묻는다면 얘기가 달라진다. 항상 케이스 숫자보다 1이 많은 수의 제곱수가 각 케이스의 정사각형 전체 개수가 된다는 것을 시각적으로 이해하게 되면서 해당 함수를 더 깊이 이해할 수 있다. 

 

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6. 꼭 가르쳐야 할 수학영의 3대 영역

 

1. 수감각(산술개념, 즉 수학의 사칙연산과 분수에 관한 개념)
수 감각의 최고의 기초는 수를 가지고 놀고, 패턴을 탐구하고, 수학적 방식으로 접근하도록 유도하는 데에서 시작된다. 수가 시각화되면 수경험은 훨씬 더 의미 있는 것이 된다. 대략적 수(부정확한 추정치)와 도형개념을 받아들여야 한다. 우리가 세상에서 만나는 모든 수는 대략적 수이다.  정확한 계산과정에서 우리는 수감각 대부분을 잃게 된다. 그러니 계산하기 전에 추정해 보라고 유도하자.(큰 그림, 거시적 사고로의 전환이다)  272 나누기 8은?
대략적 수를 예측하는 과정과 정확한 수를 계산해 내는 과정이 전두-두정엽 제어 네트워크와 기본 모드 네트워크라는 서로 다른 뇌 영역에서 일어나는 것으로 보인다고 한 신경과학자가 말했다. p149
 
2. 데이터 분석 및 문제 해결 영역(비와 비례 같은 개념으로 서로 어떻게 관련되었는지 알 수 있음) 
데어터 과학 및 분석은 가장 빠르게 성장하는 상위 20개 직업 중 하나로, 학생들은 앞으로 데이터가 가득한 세상에 진입하게 될 것이며, 데이터 리터러시가 중요할 수밖에 없다. 데이터 과학 과목은 학생들에게 이러한 중요한 기술을 배울 이상적인 기회를 제공한다. (수학을 배울 수 없게 하는 체계적인 불평등 커리큘럼을 바꿔야 함_인종적, 사회적 불평등 초래_미국 고등학교 절반만이 AP미적분 과정을 제공)
데이터 과학 과정의 첫 번째 단계에서는 학생들에게 자신의 삶에 대한 데이터를 수집하고 동료들과 함께 데이터 시각 자료를 만들도록 한다. 데이터 과학의 학습은 광범위한 아이디어의 사용, 적용, 해석과 대략적 수의 이해에 관한 것이다. 
 
3. 선형방정식
주택 담보 대출 금리, 건강 및 피트니스, 스포츠, 날씨 등에 관한 데이터에서 볼 수 있듯이 많은 중요한 정보가 선형적 관계로 제시된다. 세상의 선형적 관계를 고려할 때 데이터 과학 강좌에서 가르치는 중요한 개념 중 하나는 상관관계와 인과관계의 차이이다. 

 

7. 수학의 시각적 활동

p184 수학자와 다른학자를 구분하는 뇌 활동은 뇌의 시각영역에서 비롯되면, 일반인의 뇌와 뛰어난 성취자의 뇌를 구분짓는 것은 뇌 경로간의 연결성과, 뇌 시각영역의 발달수준이다. 숫자를 그룹화, 패턴화, 스케치 해보자. 연구에 따르면, 컴퓨터로 메모를 하면 손으로 스케치를 하거나 필기를 할 때보다 할생들의 기억력이 떨어지는 것으로 나타났다. 스케치노트를 만드는 일에는 정보 처리, 큰 그림 생각하기, 시각화, 재구성 등 매우 유용한 학습행위가 요구된다. 학생들이 아이디어를 스케치노트로 만들면 문장형 수학 문제 풀이 성취도와 참여도, 동기가 높아진다. 
 
시각적, 물리적 모델이(+놀이로 경험) 학생들의 수학 이해에 완전 중요하다. (p192 손가락을 사용하지 못하게 하는 것은 수학적 발달을 중단시키는 것과 비슷하다)
 
p230 두뇌의 지식압축으로 우리는 뇌에 점점 더 많은 학습 공간을 만들어준다. 하지만 중요한 것은 두뇌는 개념만 압축할 수 있다. 수학적 규칙과 방법을(기술) 배우면 뇌의 지식압축은 전혀 일어나지 않는다. 이 중요한 두뇌과정을 경험하지 못한다. 입축이라는 수학의 즐거움을 경험하지 못한다. (예를 들어, 분수의 나눗셈을 개념적으로 가르치지 않고, 뒤집기와 곱셈을 활용하는 방법, 즉 분수 중 하나의 분자를 분모로  바꾼 다음 두 분수를 곱하는 규칙만을 가르치는 것)

수의 시각화

제곱수

연속하는 홀수 더하기(=제곱수)

삼각수

1과1/2

1과 1/3

1과 1/8

 

8. 마무리

수학에 시각적, 물리적 경험이 중요하다는 사실.
두뇌는 개념만 압축한다는 사실이 새롭게 와닿았습니다. 

요즘은 sns에 모든 것을 유전자로 치부해 버리는 점이 안타깝더라고요. 텔레비전에도 유명인이 나와서 공부는 유전입니다!라고 쉽게 말합니다. 많은 사람들에게 좌절감을 줄 수 있는 발언입니다. 노력을 부정하고, 사회적 불평등을 정당화하며, 부모에게 죄책감을 유발하는 발언입니다. "성장마인드셋"을 알아가시기 바래요. 뇌는 내가 어떻게 활용하느냐에 따라 끊임없이 변화합니다. 현실에서는 교육환경, 노력, 피드백, 동기부여가 훨씬 큰 변수에 해당합니다. 씨앗만 보고 나무가 어떻게 자랄지 판단할 수 있나요? 후천적 설계가 중요합니다. 
 
지능이 높은 사람들도 아주 비효율적으로 인생 골치 아프게 사는 사람도 많거든요.(제 주위에 있음) 지능이 높다는 것이 장점만 있는 것이 아닙니다. 제 친구 중에는 성적은 보통인데, 사람 간 연결을 잘하는 친구가 있어요. 헤드헌터, 주선 같은 거 참 잘하는 친구예요. 사회는 다양한 인재를 필요로 합니다. 그러니 공부는 유전이다는 말로 스스로를 낮게 생각할 필요 없습니다. 지식을 쌓다 보면 뇌는 재배선, 강화, 연결하게 되고, 책을 읽다 보면 자신에 대한 확신도 생기며 삶을 더 풍요롭게 만들어요.
 
잘못된 교육 커리큘럼이 개선되고, 배움이라는 공공정책이 강화될 때 우리 사회의 불평등도 개선될 거라 생각합니다. 공부란 누구에게나 공평하게 열려있어야 하니까요.
 
"인간은 주어진 존재가 아니라
스스로를 어떻게 만드는지에 따라
또 다른 모습을 갖는다"
_ 프랑스 실존주의자 장폴 사르트르의 1943년 책 [존재와 무] 中에서
 
"실수하지 않는 유일한 인간은
아무것도 하지 않는 사람뿐이다"
_프랭클린 루스벨트
 
수학의 시각적인 표현을 돕기 위한 수학책으로 [보이는 수학책]_을 추천드립니다. 중고등 학생들이 읽으면 정말 유익해 보여요. ^^

힘을 내요!!^^
아래는 이 책을 잘 요약해 주는 표입니다. 

 
 
[3. 육아 및 교육] - 가르침에 관하여_최고의 교수법

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[3. 육아 및 교육] - 초등수학, 어려운 문제에 도전해 보자!

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[3. 육아 및 교육] - 엄마표 완전학습, 국어, 수학

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